Volatility: Practical Options Theory

กราฟกำไร/ขาดทุนพื้นฐาน — และกราฟที่เป็น "หัวใจ" ของเล่มนี้

แกนนอน = ราคาตอนหมดอายุ (S) · แกนตั้ง = กำไร(ขึ้น)/ขาดทุน(ลง) · เส้นประน้ำเงิน = ราคาใช้สิทธิ์ (strike K)

§เกริ่นนำ & ภาพรวมเล่ม

Adam S. Iqbal เป็น Managing Director และ Global Head of FX Exotics ที่ Goldman Sachs (เคยเป็นเทรดเดอร์ที่ Barclays และ portfolio manager ที่ PIMCO) จบปริญญาเอกคณิตศาสตร์การเงินจาก Imperial College และฟิสิกส์ทฤษฎีจาก Cambridge — เขาเขียนเล่มนี้จากมุม "คนทำจริงในตลาด" จุดต่างจากตำราออปชันทั่วไป (เช่น Hull) คือ Iqbal เริ่มจากสัญชาตญาณของเทรดเดอร์ก่อน แล้วค่อยพิสูจน์ด้วยคณิตศาสตร์ทีหลัง

โครงหนังสือแบ่งได้เป็น 4 ส่วนใหญ่:

1Volatility และ Options

บทเปิดวางเสาหลักของทั้งเล่ม: ออปชันคือสัญญาที่ให้ "ความเสี่ยงต่อความผันผวน" (exposure to volatility) แล้วค่อย ๆ ปูคำสำคัญ — premium, breakeven, strike conventions, implied vs realized volatility

1.1–1.2 ออปชันคืออะไร และทำไมมันคือ "เดิมพัน vol"

Option = สิทธิ์ (ไม่ใช่ภาระ) ที่จะซื้อ (call) หรือขาย (put) สินทรัพย์อ้างอิงที่ราคา strike (K) ในอนาคต ผู้ซื้อจ่าย premium ล่วงหน้า มูลค่าของออปชันมาจากความเป็นไปได้ที่ราคาจะ "เหวี่ยง" ไปไกลพอจะได้ใช้สิทธิ์ — ความเหวี่ยงนี้คือ volatility

1.3 Premium และ Breakeven

Premium = ราคาที่จ่ายวันนี้ · Breakeven = จุดที่ราคาต้องไปถึงตอนหมดอายุเพื่อ "เท่าทุน" ตลาด FX quote ราคาออปชันได้ 3 แบบ (ยกตัวอย่าง EUR-USD):

• % EUR — จ่ายด้วยเงิน EUR เช่น quote 0.75% EUR สำหรับ notional 200M EUR ⇒ จ่าย 1.5 ล้าน EUR
• % USD — จ่ายด้วยเงิน USD (เท่ากับ % EUR เฉพาะตอน strike = spot)
• USD pips — pip = ทศนิยมตำแหน่งสุดท้ายตาม convention (EUR-USD = 4 ตำแหน่ง: 1.3700→1.3710 = 10 pips) เช่น 102.75 USD pips

ข้อดีของการ quote เป็น % / pips คือ "อ่านจุดคุ้มทุนได้ทันที" — เช่น straddle 1.37 ราคา call 0.5%USD + put 0.5%USD = 1% ⇒ spot ต้องวิ่ง ±1% (ไป 1.3837 หรือ 1.3563) ถึงคุ้มทุน. ราคา premium ของ straddle ATM = ระยะ breakeven พอดี

1.4 Strike Conventions: ATMS / ATMF / ATM

คำว่า "at-the-money" ในตลาด FX มี 3 ความหมาย:

• ATMS (at-the-money spot) — strike = ราคา spot ปัจจุบัน (K = S)
• ATMF (at-the-money forward) — strike = ราคา forward (เมื่อดอกเบี้ย 2 สกุล = 0 จะเท่ากับ ATMS)
• ATM — สัญญาที่ liquid ที่สุดใน OTC จริง ๆ นิยามด้วย delta-neutral straddle (DNS): strike ที่ทำให้ delta ของ straddle = 0 (ดูบท 10) — สำหรับพารามิเตอร์ทั่วไป ATM ≈ ATMS

1.5 Volatility คืออะไร: Implied vs Realized

• Implied volatility (σ_implied) = ค่า vol ที่ "ฝังในราคาตลาด" — เอาราคาออปชันจริงใส่กลับเข้าโมเดลแล้วถอดออกมา เป็น "คำพยากรณ์ความเหวี่ยงของตลาด"
• Realized volatility (σ_realized) = ความเหวี่ยง "ที่เกิดขึ้นจริง" วัดจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของผลตอบแทนในอดีต

2เข้าใจออปชันโดยไม่ใช้โมเดล (Delta, ค่าเวลา, Put–Call Parity)

บทนี้คือ "ของขวัญ" ของหนังสือ: แสดงว่าแนวคิดหลักหลายอย่าง — delta, delta hedging, ค่าเวลา, put–call parity — เข้าใจได้ด้วย เหตุผลเชิงเศรษฐศาสตร์ล้วน ๆ ก่อนจะรู้จัก Black–Scholes เลยด้วยซ้ำ

2.1–2.4 Payoff, Value Function และ Delta Hedging

Payoff ตอนหมดอายุของ call = max(S − K, 0), ของ put = max(K − S, 0) แต่ "ก่อน" หมดอายุ ออปชันมีค่าตาม value function V(S, t, σ) ซึ่งสูงกว่าค่า payoff เสมอ (เพราะยังมีเวลาให้ลุ้น)

Delta hedging = ถือสินทรัพย์อ้างอิง −Δ หน่วยต่อออปชัน 1 หน่วย เพื่อให้พอร์ตรวม "ไม่ไหวตามทิศทางราคา" ในช่วงสั้น ๆ เหลือไว้แต่ความเสี่ยงต่อ "ความเหวี่ยง" — เปลี่ยนออปชันให้เป็นเดิมพัน vol บริสุทธิ์

2.6–2.9 Delta คืออะไร และทำไม Delta ≈ ความน่าจะเป็น ITM

Iqbal เน้นมุมมองที่ทรงพลัง: Δ ของออปชัน ≈ ความน่าจะเป็นที่มันจะจบแบบ in-the-money call ATM ⇒ Δ ≈ 0.5 (โอกาส ~50%), call ที่ไกลออกไป (OTM ลึก) ⇒ Δ เข้าใกล้ 0, call ที่อยู่ในเงินลึก ⇒ Δ เข้าใกล้ 1

2.10 ประกอบ V_t ขึ้นมา — Jensen's Inequality

เพราะ payoff "โค้ง" (convex) ค่าเฉลี่ยของ payoff จึงสูงกว่า payoff ที่ค่าเฉลี่ยของราคา — นี่คือ Jensen's inequality และเป็นเหตุผลที่ V ลอยอยู่ "เหนือ" เส้น payoff (ส่วนต่างคือค่าเวลา/ค่าความผันผวน) ดูกราฟใบที่ 4 ในส่วนเริ่มต้น

2.12–2.13 Forwards และ Put–Call Parity

Forward คือราคาตกลงซื้อขายล่วงหน้า — ใน FX ใช้ดอกเบี้ย 2 สกุล: F = S·e^{(r_base−r_num)T} (Iqbal สมมติดอกเบี้ย = 0 ในครึ่งแรกของเล่ม ⇒ F = S). delta ของ forward = 1 เต็ม ส่วน put–call parity คือความสัมพันธ์ที่ "บังคับด้วย no-arbitrage":

แปลเป็นภาษาคน: "ถือ call แล้วขาย put ที่ strike เดียวกัน = สร้าง forward สังเคราะห์" — ถ้าความสัมพันธ์นี้เพี้ยน จะมีคนทำ arbitrage ทันที ผลพลอยได้: call กับ put ที่ strike เดียวกันต้องใช้ implied vol เท่ากัน เสมอ

3Greek พื้นฐาน: Theta (θ) — ค่าเวลาที่เสียไป

Theta วัดว่าออปชันเสียมูลค่าเท่าไรเมื่อ "เวลาผ่านไป" โดยปัจจัยอื่นคงที่ สำหรับคนถือ long option theta เป็น ลบ เสมอ — เพราะยิ่งใกล้หมดอายุ โอกาสที่ราคาจะเหวี่ยงไปไกลยิ่งน้อย "ส่วนนูน" (ค่าความผันผวน) จึงหดลง

3.1 Theta ของออปชัน ATM และรูปร่างของมัน

• ขึ้นกับราคา (S): theta แรงสุดเมื่อราคาอยู่ใกล้ ATM (ตรง strike) เพราะตรงนั้นมี "ส่วนนูน" ให้เสียมากที่สุด; ออปชันที่ ITM/OTM ลึก theta เล็กลง
• ขึ้นกับเวลา (t): สำหรับ ATM ยิ่งใกล้หมดอายุ theta ยิ่งเร่งตัว (โตแบบ ~1/√T) — ค่าเวลาในสัปดาห์สุดท้ายหายเร็วกว่าช่วงต้นมาก

4Greek พื้นฐาน: Gamma (Γ) — ความโค้งและเครื่องจักร PnL

Gamma = อัตราที่ delta เปลี่ยน เมื่อราคาขยับ (= ความโค้งของ value function) นี่คือ Greek ที่อยู่เบื้องหลัง "การทำกำไรจากความผันผวน" ของคนถือ long option

4.2–4.4 Gamma ปะทะ Time Decay

เพราะ gamma เป็นบวก เวลาราคาขึ้น delta จะเพิ่ม (พอร์ตยาวขึ้น) เวลาราคาลง delta จะลด (พอร์ตสั้นลง) การเฮดจ์กลับสู่ delta-neutral จึงกลายเป็น "ซื้อตอนถูก ขายตอนแพง" โดยอัตโนมัติ — เรียกว่า gamma scalping แต่กำไรนี้ไม่ฟรี: คุณต้องจ่าย theta แลกมา ทั้งคู่เป็นด้านตรงข้ามของเหรียญเดียวกัน

เวอร์ชันย่อสำหรับคิดในหัว (เมื่อ σ คงที่ term1+term3 ≈ ½Γ(ΔS)²): ΔPnL ≈ ½·Γ·(ΔS)² + θ·Δt — กำไรเมื่อราคาเหวี่ยงเกิน breakeven

4.3 Trader's Gamma (dollar gamma)

เทรดเดอร์วัด gamma เป็น "การเปลี่ยนของ delta ต่อการขยับ spot 1% (log return)" คือ Γ_trader = Γ·S²/100 (ไม่มี ½ — เลข ½ อยู่ในเทอม PnL ½Γ(ΔS)² ต่างหาก). เช่น spot 1.37→1.3750 (≈ +0.37%) ในตัวอย่างของ Iqbal เทรดเดอร์ต้องขายเพิ่ม ~5M EUR เพื่อคง delta-neutral

4.5 PnL Explain — แยกชิ้นกำไรรายวัน

PnL Explain คือการ "ผ่า" กำไร/ขาดทุนของวันออกเป็นชิ้น ๆ ว่ามาจาก delta เท่าไร, gamma เท่าไร, theta เท่าไร, vega เท่าไร เป็นเครื่องมือควบคุมความเสี่ยงประจำวันของเดสก์ออปชัน — ถ้า "อธิบายไม่ได้" แปลว่ามีความเสี่ยงซ่อนอยู่

4.6–4.7 ความแปรปรวน และต้นทุนธุรกรรม

บทเรียนจากตัวอย่าง: delta hedge ไม่ได้เพิ่ม "กำไรคาดหวัง" (มันยังเป็นเกม gamma–theta) แต่มันลด variance ของ PnL ลงมาก — ในตัวอย่าง ไม่ว่า spot จะจบ ITM (1.3850) หรือ OTM (1.3600) เฮดจ์แล้วได้ +9k เท่ากัน. แต่ในความจริง variance ไม่เป็น 0 เพราะ implied vol ก็สุ่มและเฮดจ์ต่อเนื่องจริง ๆ ไม่ได้

4.9 Gamma Profile

• Gamma สูงสุดที่ ATM และต่ำที่ ITM/OTM ลึก
• ใกล้หมดอายุ gamma ที่ ATM สูงและแหลมขึ้น (เฮดจ์บ่อย, theta แรง)
• Gamma สูงขึ้นเมื่อ implied vol ต่ำ (เส้น value แหลมขึ้น)

5Greek พื้นฐาน: Vega — เดิมพันบน Implied Volatility

Vega วัดว่าออปชันเปลี่ยนค่าเท่าไรเมื่อ implied vol ขยับ 1 จุด (ไม่ใช่ราคาอ้างอิงขยับ) ถ้า gamma คือเดิมพันบน "ความเหวี่ยงที่เกิดจริง (realized)" vega ก็คือเดิมพันบน "ราคาความเหวี่ยงในตลาด (implied)"

5.2–5.3 เข้าใจ Vega สองทาง

• ผ่านการกระจาย (PDF): vol สูงขึ้น = การกระจายของราคากว้างขึ้น = มีมวลความน่าจะเป็นเลย strike มากขึ้น = ออปชันมีค่ามากขึ้น
• ผ่าน gamma trading: vega คือ "มูลค่าปัจจุบันของกำไร gamma ที่คาดว่าจะได้ในอนาคต" — ซื้อ vega = ซื้อสิทธิ์เก็บ gamma scalping ในวันข้างหน้า

5.4–5.6 Vega ขึ้นกับอะไร

• อายุ (tenor): Vega ของ ATM ∝ S·√T — ออปชัน ยาว มี vega มากกว่า (ทำให้มันเป็นเครื่องมือเทรด "ระดับ vol" ระยะยาว). แต่อย่ารีบสรุปว่าออปชันยาว "เสี่ยงกว่า" เพราะ Δσ ของอายุสั้นมักใหญ่กว่า ชดเชยกัน (บท 6)
• ราคา (spot): Vega สูงสุดใกล้ ATM และลดลงเมื่อราคาเลื่อนออกห่าง strike
• ระดับ vol (จุดที่เคยเขียนผิด): สำหรับ ATM ความสูงของยอด vega ≈ 0.15% ไม่ขึ้นกับ σ เลย — เปลี่ยนแค่ "ความกว้าง" ของโปรไฟล์ (σ ต่ำ = แคบ). แต่สำหรับ OTM/ITM นั้น σ สูง ⇒ vega สูง

6Implied Volatility และ Term Structure

implied vol ไม่ได้มีค่าเดียว — มันต่างกันตาม "อายุของออปชัน" เกิดเป็น term structure (โครงสร้างของ vol เทียบกับเวลา) บทนี้สอนวิธีคิด vol แบบ "ช่วงเวลา" คล้ายกับ forward rate ของดอกเบี้ย. Rebonato นิยาม implied vol ไว้อย่างเฉียบว่าคือ "เลขตัวเดียวที่ใส่ลงในสูตรที่ผิด เพื่อให้ได้ราคาที่ถูก"

6.1 ทำไมเทรดด้วย implied vol — OTC trade & Delta Exchange

เหตุผลเชิงปฏิบัติที่ตลาด FX quote ด้วย vol ไม่ใช่ cash คือ vol ไวต่อการขยับ spot น้อยกว่าค่า premium มาก

6.2–6.4 Forward Volatility และ "ความแปรปรวนบวกกันได้"

หลักสำคัญ: variance (= σ²·t) บวกกันได้ตามเวลา เหมือนต่อท่อ ดังนั้นถ้ารู้ vol ของช่วง 0→T₁ และ 0→T₂ เราถอด "vol ของช่วงอนาคต T₁→T₂" (forward vol) ออกมาได้

6.3 Flat Vega vs Weighted Vega

เวลารวมความเสี่ยง vega ข้ามหลายอายุ จะนับแบบ "เท่ากันหมด" (flat vega) ก็ได้ แต่เพราะ vol ระยะสั้นเหวี่ยงมากกว่าระยะยาว เทรดเดอร์จึงใช้ weighted vega (และ beta-weighted vega) เพื่อถ่วงน้ำหนักให้สมจริง

6.5 สร้าง Term Structure แบบรายวัน

เทรดเดอร์สร้างเส้น vol แบบ "วันต่อวัน" (ตาราง 5 คอลัมน์): วันที่ (รวมเสาร์-อาทิตย์ เพราะ FX ใช้ 365 วัน) → base vol (vol พื้นฐานถ้าเป็นวันปกติ) → event vol (บวก/ลบตามเหตุการณ์ เช่น 6-Oct-17 วัน NFP +3.00%) → forward vol (= base + event) → expiry vol (รวม variance ด้วย Eq 6.8). เช่น forward vol ของวัน NFP = 11.10% ⇒ breakeven ≈ 0.58% (โอกาสทะลุ 42% — ฟังดูสมเหตุผล)

6.6 GARCH 3 พารามิเตอร์ — ตั้ง base volatility

การตั้ง vol ทีละวันสำหรับ 2 ปี (730 วัน) ไม่ไหว GARCH(1,1) ช่วยลดเหลือ 3 พารามิเตอร์ โดยจับ 2 คุณสมบัติ: vol จับกลุ่ม (autoregressive) และ vol วิ่งกลับค่าเฉลี่ย (mean reversion):

• σ²(0) = vol ฐานของ "วันนี้" — ปรับขึ้น ⇒ ยกปลายสั้นของเส้น
• V_L = variance ระยะยาว/terminal (เหมือน terminal rate ใน fixed income) — ปรับขึ้น ⇒ ยกปลายยาว
• half-life (วัน) = กี่วันที่ forward variance เดินทางครึ่งทางจาก σ²(0) ไป V_L — ปรับขึ้น ⇒ เส้นแบนลง

6.7 Volatility Carry & FVA — และข้อสรุปที่สวนสามัญสำนึก

Volatility carry = เดิมพันว่าเส้น term structure จะ"อยู่นิ่ง" ทำให้ vol ไม่ขึ้นตามที่ถูกคิดราคาไว้ · FVA (Forward Volatility Agreement) = สัญญาตกลงซื้อ/ขาย straddle ในอนาคตที่ราคา (vol) กำหนดวันนี้

7Vanna, Risk Reversal และ Skewness (รอยยิ้มเอียงข้าง)

โลกจริงไม่ได้กระจายแบบสมมาตร — ราคามักมีโอกาส "ร่วงแรง" กับ "พุ่งแรง" ไม่เท่ากัน เรียกว่า skewness (ความเบ้) บทนี้ว่าด้วยเครื่องมือวัดและเทรดความเบ้นั้น

Vanna บอกว่า "vega เปลี่ยนเมื่อ spot เปลี่ยน" (หรือ "delta เปลี่ยนเมื่อ vol เปลี่ยน"). คน long vanna เชียร์ให้ vol ขึ้นเมื่อ spot ขึ้น — คือได้ประโยชน์จาก spot-vol correlation ที่เป็นบวก

7.1–7.2 Risk Reversal และ Skewness (FX ไม่ใช่หุ้น)

Risk Reversal (RR) มี 2 ความหมาย: (1) โครงสร้าง payoff = ซื้อ OTM call + ขาย OTM put (หรือกลับกัน), (2) ส่วนต่าง σ ระหว่าง call กับ put ที่ delta เท่ากัน. RR คือเครื่องมือหลักในการรับ exposure ของ vanna/skew

เฟรมของหนังสือเป็น FX ผ่าน spot-vol correlation (ไม่ใช่ "หุ้นกลัวร่วง"): ช่วงวิกฤต เงินไหลเข้าสกุล safe-haven (JPY) ออกจากสกุลเสี่ยง (AUD) พร้อม ๆ กับ vol ที่พุ่ง ⇒ คู่ AUD-JPY มี spot-vol correlation ติดลบ ⇒ ตลาดคิดราคา OTM put แพงกว่า OTM call (เส้น smile เอียงลง)

7.3–7.4 Delta Space (วิธีของ FX)

FX ระบุ strike ด้วย "delta + ค่า σ" แทนราคา strike ตรง ๆ และพล็อต smile ใน delta space (แกนนอน = delta) เพราะคงรูปทรงไว้แม้ราคาวิ่ง:

• delta ยิ่งต่ำ strike ยิ่งไกล spot: 25Δ ≈ 1.5% จาก spot · 10Δ ≈ 3% จาก spot
• ถ้า σ สูงขึ้น strike เดิมจะกลายเป็น delta ที่ ต่ำลง (เพราะ delta ≈ ความน่าจะเป็น ITM และ strike นั้นห่างขึ้นในหน่วย σ)
• ตัวอย่าง Fig 7.5: 25Δ call = 9%, 25Δ put = 13% ⇒ RR = 4% (put − call) เป็น smile เอียงลง (AUD-JPY)

7.5 Smile Vega — ทำไม "vol reference" ถึงสำคัญ

แม้ RR จะ "เกือบไม่มี vega" แต่ถ้าคู่สัญญา ตกลง vol reference ไม่ตรงกัน ก็มีผลต่อ PnL: ถ้าตั้ง vol references สูงขึ้น strike 25Δ จะห่าง spot มากขึ้น ผู้ขาย RR เสียเปรียบ (ขายของที่ไกลกว่าในราคาเท่าเดิม)

7.6 Smile Delta — และกับดักที่ "เฮดจ์แล้วเสี่ยงขึ้น"

เมื่อราคาวิ่ง ออปชัน "เลื่อน (roll)" ไปบนเส้น smile ทำให้ σ ที่ใช้เปลี่ยน ⇒ delta จริงต่างจาก BSM delta. ส่วนต่างนี้คือ smile delta

8Volgamma, Butterfly และ Kurtosis (หางอ้วน)

นอกจากความเบ้ การกระจายจริงยังมี kurtosis — "หางอ้วน + ยอดแหลม" (leptokurtic) คือโอกาสเกิดเหตุการณ์สุดขั้วและโอกาสที่ราคานิ่งสนิท มากกว่าระฆังคว่ำปกติ เครื่องมือเทรดเรื่องนี้คือ butterfly

8.1 Butterfly Strategy (vega-neutral)

Butterfly (BF) = ขาย ATM straddle + ซื้อ strangle (OTM call + OTM put) — ตั้งให้ vega-neutral ตอนเริ่ม

8.2 Volgamma

เมื่อ σ ขึ้น: vega ของ straddle (ATM) ไม่เปลี่ยน แต่ strangle ได้ vega ⇒ โครงสร้างกลายเป็น long vega ⇒ พิสูจน์ว่า BF = long volgamma. เปรียบกับ gamma เป๊ะ: long gamma → ขาย spot เมื่อขึ้น/ซื้อเมื่อลง · long volgamma → ขาย vol เมื่อขึ้น/ซื้อ vol เมื่อลง และได้ประโยชน์จาก "ความผันผวนของความผันผวน (vol of vol)"

8.3 Kurtosis → ราคา Butterfly

ถ้าตลาดเริ่มเชื่อว่าการกระจายจริงเป็น leptokurtic (ยอดแหลม + หางอ้วน) กว่าที่คิดราคาไว้: คนจะ ขาย ATM straddle (กินโอกาสที่ราคานิ่ง) + ซื้อ OTM strangle (กันหางอ้วน) = ซื้อ butterfly. ดังนั้น ยิ่ง kurtosis มาก fair price ของ BF ยิ่งสูง และสะท้อนออกมาเป็น "ความโค้ง (convexity)" ของรอยยิ้ม

8.4–8.5 "รอยยิ้ม" = ATM + RR + BF

ถ้าแยกผล kurtosis ออกจาก skew (สมมติ spot-vol correlation = 0) จะได้ smile สมมาตร เช่น 25Δ put/call = 11% ขณะ ATMS = 10% (ปีกแพงกว่ากลาง = ความโค้ง). เพิ่ม kurtosis ⇒ ปีกยิ่งแพงขึ้นเทียบ ATM

9Black–Scholes–Merton Model

หลังจากเข้าใจทุกอย่างด้วยสัญชาตญาณแล้ว บทนี้จึง "ใส่คณิตศาสตร์" ให้ครบ — และผู้อ่านจะเห็นว่าโมเดลแค่ ยืนยันสิ่งที่เรารู้อยู่แล้ว

9.1–9.2 Log-normal Diffusion และ BSM PDE

BSM สมมติว่าราคาเดินแบบ geometric Brownian motion: ผลตอบแทนกระจายแบบปกติ ⇒ ราคากระจายแบบ log-normal

เมื่อสร้างพอร์ต "ออปชัน + เฮดจ์ด้วยสินทรัพย์อ้างอิง −Δ" แล้วใช้ Itô's Lemma เทอมที่มีความสุ่ม (dW) จะถูกหักล้างด้วย delta hedge พอดี (อาศัยผล (dW)² = dt — variance ของ Brownian motion โตเชิงเส้นกับเวลา) เหลือพอร์ตที่ "ไร้ความเสี่ยงชั่วขณะ" no-arbitrage จึงบังคับให้ได้ผลตอบแทน = r ผลคือ BSM PDE:

9.3–9.5 Feynman–Kac และ Risk-Neutral Probabilities

ทฤษฎีบท Feynman–Kac แปลง PDE ให้เป็น "ค่าคาดหวัง" — ราคาออปชัน = มูลค่าปัจจุบันของ payoff คาดหวัง ในโลกเสมือนปลอดความเสี่ยง (risk-neutral) ที่ทุกสินทรัพย์ดริฟต์ด้วย r แทน μ

ในกรอบนี้ N(d₂) = ความน่าจะเป็น (risk-neutral) ที่ call จะจบแบบ ITM และ N(d₁) เชื่อมกับ delta — เป็นเหตุผลเชิงสูตรของ "delta ≈ ความน่าจะเป็น" ในบท 2

และผล "42% โอกาสทะลุ breakeven" จากบท 1/6 (ในกรอบ normal) ยังเป็นจริงโดยประมาณในกรอบ log-normal BSM ด้วย (เพราะ σ ~10% ทำให้เทอม σ²/2 เล็กมาก)

10The Black–Scholes Greeks (สูตรปิดของ Greeks)

บทนี้รวบ Greeks ทั้งหมดในรูป "สูตรปิด" จาก BSM — สิ่งที่เราเข้าใจเชิงสัญชาตญาณมาแล้ว ตอนนี้คำนวณตัวเลขได้

10.1 Delta สามแบบ และ ATM Convention

• Spot delta = e^−r_numT·N(d₁) (เทียบ spot) — risk-neutral P(ITM) = N(d₂); ส่วนต่าง delta กับ P(ITM) เล็ก (1M ~1%, 1Y ~3%; วิกฤต 2008 vol>25% เป็น ~3%/~9%)
• Dual delta = ∂V/∂K — มี 2 ความหมาย: (1) ราคาของ digital option ที่ strike K, (2) delta เมื่อมองจากนักลงทุนสกุลฐาน (EUR-bank)
• Forward delta — ไม่ใช่จำนวนสัญญา forward ที่ต้องเฮดจ์! เพราะ PnL ของ forward รับรู้ในอนาคต ต้องคิดลด ⇒ เฮดจ์ด้วย e^−rT×(forward delta) สัญญา
• ATM (DNS) = strike ที่ delta ของ straddle ตาม BSM = 0 (d₁ = 0). หมายเหตุ: DNS มี smile delta ⇒ BSM delta = 0 แต่ delta จริงไม่จำเป็นต้อง 0

10.2–10.6 สูตร Greeks หลัก

โดย N′ คือฟังก์ชันความหนาแน่นปกติมาตรฐาน และ d₁ = [ln(S/K) + (r + ½σ²)T] / (σ√T), d₂ = d₁ − σ√T · เลข 2.1 ที่โผล่ทั้งเล่ม (breakeven/theta/vega) มาจากการวัดเวลาเป็น "วัน" แทน "ปี"

11Predictability และ Mean Reversion (ทดสอบเชิงประจักษ์)

ทั้งเล่มยืนอยู่บนสมมติฐานว่า spot เป็น martingale (E[S_T]=S_t) — ไม่มี autocorrelation ไม่มี mean reversion ในผลตอบแทน ทำให้ variance โตเชิงเส้นกับเวลา. บทปิดท้ายจึงเป็น การทดสอบทางสถิติ เพื่อหาหลักฐานสนับสนุนสมมติฐานนี้ — คำถามคือ "ใช้ราคาในอดีตทำนายผลตอบแทนอนาคตได้ไหม?"

11.1–11.2 การทดสอบและผลลัพธ์

• ข้อมูล: อัตราแลกเปลี่ยนรายวัน 6 สกุลเทียบ USD — JPY, GBP, EUR, CAD, AUD, CHF (เริ่มต่างปีกัน เช่น JPY/GBP/CHF ปี 1973, EUR ปี 1999, AUD ปี 1983) ข้อมูลสิ้นสุด 10 มี.ค. 2011
• วิธี: ประมาณ autocorrelation ของผลตอบแทนถึง 261 lags (ทดสอบว่าผลตอบแทนวันนี้ทำนายผลตอบแทนวันเดียวกันปีหน้าได้ไหม) คำนวณ standard error 2 วิธี (bootstrap + GMM) ถือว่า "มีนัยสำคัญ" เมื่อห่างจาก 0 เกิน 1.96 SD (5%)
• ทำไมศึกษา "ผลตอบแทน" ไม่ใช่ "ราคา": เพราะผลตอบแทน stationary กว่า (ค่าราคา exchange rate มี variance โตตามเวลา ไม่ stationary)

Aสรุปสูตร & Rule of Thumb สำคัญ

ภาคผนวก A (Probability) ปูพื้น PMF/PDF/CDF, การกระจายปกติ (กฎ 68% ภายใน ±1σ) และ log-normal (ซึ่ง "เบ้บวก" มากขึ้นเมื่อ σ ใหญ่ — เหตุผลที่ราคาเป็นบวกเสมอ) · ภาคผนวก B (Calculus) ทบทวนอนุพันธ์/อนุพันธ์ย่อยที่ใช้นิยาม Greeks — ด้านล่างคือสูตรและกฎลัดที่ใช้บ่อยที่สุด

กฎลัด (rule of thumb) ของเทรดเดอร์

สูตรหลักของออปชัน

แผนที่ Greeks — เดิมพันอะไร

Bอภิธานศัพท์ (Glossary)